Как три вектора один детерминант в нуль обратили

Материал из викиФизтех
Перейти к: навигация, поиск

Псевдонимы Адама Ара и Евы Клид принадлежат Юрию Васильевичу Пухначёву и Юрию Петровичу Попову. Однако в создании подписанных этими псевдонимами «сказок» участвовал весь коллектив ФАКИ-шной стенгазеты «Стрела».

Сказка о том, как три вектора один детерминант в нуль обратили

Адам Ар, Ева Клид
Цитируется по кн. Щука, 1995

Как идут две параллели,
Да не сходятся.
Как стоят два перпендикуляра,
Да не наклонятся.
(Старинная песня)


В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное, удобопорядоченное семейство векторов — $ I_1 $, $ I_2 $ и $ I_3 $. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений — жили, в чем мать-матрица родила. Из периода в период, от $ -\pi $ до $ \pi $, гнули братья спины на базисе богатого Симплекса — эксплуататора и тунеядца, который всю свою жизнь жил по принципу наименьшего действия.

И не взлюбил их сын Симплекса — Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобъёт, то другую... «Не будет нам житья от этого Комплекса, — решили братья. — Нет на него никаких ограничений». И задумали братья обойти все пространства и подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли они в чисто потенциальное поле и пошли с шагом $ h/2 $ куда глаза глядят.

$ \pi $ идут, $ 2\pi $ и идут... $ 3\pi $ идут. Стали уже попадаться изоклины. Глядь — блестит голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение. Не простое течение, с кавитацией. «А не половить ли нам рыбки?» — молвил $ I_1 $. «Отчего же нет?» — сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою нырявшую виды ортогональную сеть. Смотрят — в сети сигма-рыба бьётся, человеческим голосом разговаривает: «Не губите меня, добрые молодцы, я вам ещё пригожусь». Выпустили её братья на волю и пошли дальше.

Долго ли, коротко ли шли — больше нуля, меньше бесконечности, смотрят: стоит при дороге малый параметр, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили ядрами всвёрстку, угостили и повторными. Стал тут параметр на глазах расти, а когда достиг экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал: «Я вам ещё пригожусь!.» — и пропал, будто вовсе его не было.

Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья Мёбиуса, закрутились в воздухе уединённые вихри; огненные разрезы молний раскололи небесную сферу Римана. Оглянулись братья, глядь — при дороге избушка стоит на курьих нужках. «Избушка, избушка, повернись к нам плюсом, к лесу минусом». Попереминалась избушка с ноги на ногу, да и повернулась. Вошли в нее векторы, возрадовались. На столе еда стоит. Поели браться, спросили: «Есть тут кто?» Смотрят — вылазит из-под печки не то вектор, не то скаляр, дробной цепью закованный. «Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. Вот уже полжизни сижу я здесь под стражей злой Наблы-Яги, за отрицание равнозначности...» Не успел он договорить — зашумело, засвистело вокруг. «Бежим, бежим!» вскричал Мак Лоран. Расковали его братья и пустились все вместе наутек. Оглянулись назад, видят — летит по воздуху прекрасная Дельта. Ударилась Дельта оземь, встала на голову и обратилась в страшную Наблу-Ягу. «Чую, чую, векторным духом пахнет!» А векторов уж и след простыл.

Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на Div grad, что означает Дивный город, а сам пошёл своим путём.

…И выросли перед братьями стены града великого, подобно тому, как вырастает график тангенса с аргументом, близким к $ \pi/2 $. И расходилось от него сияние лучистое, подобно тому, как расходятся частичные суммы гармонического ряда. И великая печаль охватила тот город, подобно тому, как охватывает всю совокупность решений уравнения $ \ddot x + \omega ^2 x = 0 $ формула $ x = C_1 \sin {\omega t} + C_2 \cos {\omega t} $, где $ C_1 $ и $ C_2 $ — произвольные постоянные.

Зашли братья в харчевню «U с волной», разговорились с хозяйкой, толстой Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город. Устроил как-то правитель Див-града великий Тензор IV Инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери Резольвенты. Такого бала не было еще в его области определения. Приехал на бал граф Икс в самосопряжённой коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные звуки К-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце «Па dt». Вдруг погас свет, заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты не было на её месте. Как показало следствие из теоремы о монодромии, её похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи. С тех пор удача покинула Див-град.

Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться силой со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тейлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.

Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжёлые граничные условия не позволили векторам перейти в соседнюю накрестлежащую область, населённую псевдовекторами, где господствовало классовое неравенство Коши — Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: «Направо пойдёшь — в бесконечность уйдёшь. Налево пойдёшь — координат не соберёшь. Прямо пойдёшь — транспортируешься». Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись — старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. «Тяжёлое дело вы замыслили, братья. Трудно одолеть Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко тремя узлами к корням полинома Лежандра: первый узел простой, второй — морской, третий — логарифмический. А полином тот растёт в изолированной точке, и добраться до неё нелегко. Лежит она за $ 3 \div 9 $ земель в пространстве хана Банаха. И охраняет его чудовище с трансцендентным числом ног, по кличке Декремент. Тот Детерминант надо достать и приравнять к нулю».

Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Сидят, гадают, как им быть — не знают. Вдруг откуда ни возьмись — сигма-рыба. «Вот и пригодилась я вам, добрые молодцы!» Перевезла их, объяснила дорогу дальше.

Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Откуда ни возьмись малый параметр. «Вот и пригодился я вам, братья!». Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли братья на другую сторону. «А теперь, — говорит им параметр, — идите по следам матриц до изолированной точки».

Отыскали братья следы, смотрят — расходятся они на три стороны. Пошёл каждый по своему направлению. Шёл-шёл $ I_1 $ — вдруг видит: как из-под земли выросли перед ним многочисленные орты хана-Банаха, все за исключением, быть может, одного, одетые в жорданову форму. «Эх, опечалился вектор, — нет со мной моих любимых братьев! Да ничего! $ I_1 $ в поле воин», — и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Тем и одолели супостата.

Вдруг задрожало всё вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья, накинули на него веревочный многоугольник. Запуталось в нем чудовище и издохло.

Нашли братья полином, извлекли корни, разрубили узлы, раскрыли икосаэдр, вынули додекаэдр, достали детерминант и приравняли его нулю. Тут и пришел конец Вандермонду. И появилась между братьями красавица Резольвента, живая и невредимая.

…Что и требовалось доказать.

Примечание 1. Сказка написана для случая $ n_0=3 $. Пользуясь методом математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай $ n > n_0 $.

Примечание 2. Обратное, вообще говоря, неверно.

Комментарии

Перейти к форме добавления комментария


Добавить комментарий
На сайте {{SITENAME}} комментарии можно оставлять всем. Если Вы не хотите оставаться анонимным, зарегистрируйтесь или представьтесь. Это бесплатно.